Комплексной мощностью цепи называется комплексное число, модуль которого равен полной мощности цепи, а аргумент - фазовому сдвигу между током и напряжением цепи,

Переходя от показательной форме записи к тригонометрической, получаем

то и - вещественная и мнимая составляющие комплексной мощности.

Из полученного выражения следует, что вещественная составляющая комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая составляющая - реактивной мощности двухполюсника.

Если , то реактивная мощность положительна . При этом энергия запасается в цепи в виде энергии магнитного поля индуктивных элементов цепи. Если , реактивная мощность отрицательна . При этом энергия запасается в цепи в виде энергии электрического поля ёмкостных элементов цепи.

Если , то реактивная мощность равна нулю . При этом обмен энергией между источником и цепью отсутствует, что является наиболее оптимальным режимом работы мощных электрических установок.

На комплексной плоскости комплексную мощность можно изобразить в виде вектора, проекции которого на вещественную и мнимую ось равны и соответственно (рис. 5.1, а). Прямоугольник треугольник, образованный вектором и его проекциями называется треугольником мощностей. Поскольку треугольник мощностей цепи подобен треугольнику сопротивлений этой же цепи (рис. 5.1, б), то комплексная мощность и ее составляющие и могут быть выражены через комплексное сопротивление цепи и его составляющие , , :

.

При этом модуль комплексной мощности может быть определён в виде

С учётом (5.3) комплексную мощность цепи можно выразить через комплексные действующие значения напряжения и тока на выводах цепи

где - величина, комплексно сопряженная с комплексным действующим значением тока .

Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению комплексного напряжения цепи на комплексно сопряженный ток этой цепи.

В Международной системе единиц все виды мощности (мгновенная, активная, полная, комплексная и реактивная) измеряются в [Дж/сек]. Однако, для того, чтобы подчеркнуть различный физический смысл этих понятий, единицам данных величин присвоены различные названия. Мгновенная и активная мощности выражаются в ваттах [Вт], полная и комплексная мощности - в вольт-амперах [В×А]. Определим комплексную мощность идеализированных пассивных RLC -элементов при гармоническом токе.

Поскольку в сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе , то , и коэффициент мощности . Тогда мощность сопротивления является активной, то есть вещественной величиной.

Так как в ёмкости напряжение отстаёт по фазе от тока на и коэффициент мощности , то комплексная мощность ёмкости является отрицательной мнимой величиной, то есть чисто реактивной,

С учётом модуля сопротивления и действующего значения тока ёмкости её реактивная мощность может быть представлена в виде

Единица измерения - вольт-ампер реактивный (var, вар)

Реактивная мощность - величина, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока, равна произведению среднеквадратичных значений напряжения U и тока I , умноженному на синус угла сдвига фаз φ между ними: (если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным, если опережает - отрицательным). Реактивная мощность связана с полной мощностью S и активной мощностью Р соотношением: .

Полная мощность

Единица полной электрической мощности - вольт-ампер (V·A, В·А)

Полная мощность - величина, равная произведению действующих значений периодического электрического тока I в цепи и напряжения U на её зажимах: S = U·I ; связана с активной и реактивной мощностями соотношением: где Р - активная мощность, Q - реактивная мощность (при индуктивной нагрузке Q > 0, а при ёмкостной Q < 0).

Комплексная

Комплексная мощность

Мощность, аналогично импедансу, можно записать в комплексном виде:

где - комплексное напряжение, - комплексный ток, - импеданс, * - оператор комплексного сопряжения.

Модуль комплексной мощности равен полной мощности S . Действительная часть равна активной мощности Р , а мнимая - реактивной мощности Q с корректным знаком в зависимости от характера нагрузки.

Сименс (русское обозначение: См ; международное обозначение: S ) - единица измерения электрической проводимости в Международной системе единиц (СИ), величина обратная ому.

Через другие единицы измерения СИ cименс выражается следующим образом:

1 См = 1 / Ом = А / В = кг −1 ·м −2 ·с³А².

17) Коэффициент мощности - безразмерная физическая величина, характеризующая потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей. Коэффициент мощности показывает, насколько сдвигается по фазе переменный ток, протекающий через нагрузку, относительно приложенного к ней напряжения.

Типовые оценки качества электропотребления

При одной и той же активной мощности нагрузки мощность, бесполезно рассеиваемая на проводах, обратно пропорциональна квадрату коэффициента мощности. Таким образом, чем меньше коэффициент мощности, тем ниже качество потребления электроэнергии. Для повышения качества электропотребления применяются различные способы коррекции коэффициента мощности, то есть его повышения до значения, близкого к единице.

Например, большинство компактных люминесцентных («энергосберегающих») ламп, имеющих ЭПРА, характеризуются высоким его значением.

18) Соединение в звезду. Схема, определения

Если концы всех фаз генератора соединить в общий узел, а начала фаз соединить с нагрузкой, образующей трехлучевую звезду сопротивлений, получится трехфазная цепь, соединенная звездой. При этом три обратных провода сливаются в один, называемый нулевым или нейтральным. Трехфазная цепь, соединенная звездой, изображена на рис. 7. 1.

Рис. 7.1

Провода, идущие от источника к нагрузке называют линейными проводами, провод, соединяющий нейтральные точки источника N и приемника N" называют нейтральным (нулевым) проводом. Напряжения между началами фаз или между линейными проводами называют линейными напряжениями. Напряжения между началом и концом фазы или между линейным и нейтральным проводами называются фазными напряжениями. Токи в фазах приемника или источника называют фазными токами, токи в линейных проводах - линейными токами. Так как линейные провода соединены последовательно с фазами источника и приемника, линейные токи при соединении звездой являются одновременно фазными токами.

Понятие потенциала или разности потенциалов

u позволяет определить работу, совершаемую электрическим полем при перемещении элементарного электрического заряда dq , как dA = udq . В то же время, электрический ток равен i = dq /dt . Отсюда dA = ui dt , следовательно, скорость совершения работы, т.е. мощность в данный момент времени или мгновенная мощность равна u =U m sinw t и I m sin(w t -j ), тогда средняя мощность будет равна

т.к. интеграл второго слагаемого равен нулю. Величина

cosj называется коэффициентом мощности .

Из этого выражения следует, что средняя мощность в цепи переменного тока зависит не только от действующих значений тока

I и напряжения U , но и от разности фаз j между ними. Максимальная мощность соответствует нулевому сдвигу фаз и равна произведению UI . При сдвиге фаз между током и напряжением в ± 90° средняя мощность равна нулю. Максимальные значения напряжения и тока любой электрической машины определяются ее конструкцией, а максимальная мощность, которую они могут развивать - произведением этих величин. Если электрическая цепь построена нерационально, т.е. сдвиг фаз j имеет значительную величину, то источник электрической энергии и нагрузка не могут работать на полную мощность. Поэтому в любой системе источник-нагрузка существует т.н. "проблема cosj ", которая заключается в требовании возможного приближения cos j к единице.

Выражение (3) можно представить также с помощью понятий

активных составляющих тока I а и напряжения U а в виде

Среднюю мощность

P называют также активной мощностью и измеряют в ваттах [Вт].

Выделим подинтегральную функцию выражения (3)

Временные диаграммы, соответствующие этому случаю приведены на рис. 1 а).

Положительные значения мгновенной мощности соответствуют поступлению энергии от источника в электрическую цепь

. Следовательно, при резистивной нагрузке вся энергия поступающая от источника преобразуется в ней в тепло . j = 0 (j = ± p /2) , т.е. для чисто реактивной цепи

Временные диаграммы, соответствующие чисто индуктивной и чисто емкостной нагрузке приведены на рис. 1 б) и г). Из выражений (8) и временных диаграмм следует, что мощность колеблется относительно оси абсцисс с двойной частотой, изменяя свой знак каждые четверть периода. Это означает, что в течение четверти периода (

p > 0) энергия поступает в электрическую цепь от источника и запасается в магнитном или электрическом поле, а в течение следующей четверти (p < 0) она целиком возвращается из цепи в источник. Так как площади, ограниченные участками с положительной мощностью и с отрицательной одинаковы, то средняя мощность отдаваемая источником нагрузке равна нулю и в цепи не происходит преобразования энергии.

В общем случае произвольной нагрузки 1 > cos

j > 0 (1< |j | < p /2) и

Как следует из временных диаграмм рис. 1 в), большую часть периода мощность потребляется нагрузкой (

p > 0), но существуют также интервалы времени, когда энергия запасенная в магнитных и электрических полях нагрузки возвращается в источник. Участки с положительным значением p независимо от характера реактивной составляющей нагрузки всегда больше участков с отрицательным значением, поэтому средняя мощность P положительна. Это означает, что в электрической цепи преобладает процесс преобразования электрической энергии в тепло или механическую работу .

Рассмотрим энергетические процессы в последовательном соединении

rLC (рис. 2). Падение напряжения на входе цепи уравновешивается суммой падений напряжения на элементах u =u r +u L +u C . Мгновенная мощность в цепи равна

ui =u r i +u L i +u C i

Пусть напряжение и ток на входе равны

u =U m sinw t и I m sin(w t -j ). Тогда падения напряжения на элементах будут u r = rI m sin(w t -j ), u L = w LI m sin(w t -j +p /2) = x L I m sin(w t -j +p /2), u C = I m sin(w t -j -p /2)/(w C) = x C I m sin(w t -j -p /2). Подставляя эти выражения в (9), получим

Уравнение (10) в левой и правой частях имеет постоянную и переменную составляющие. Постоянная составляющая представляет собой активную или среднюю мощность. Второе слагаемое в правой части это переменная составляющая активной мощности с амплитудой равной

P = UI cosj . Третье слагаемое правой части также является переменной составляющей мгновенной мощности, но эта составляющая находится в квадратуре с переменной составляющей активной мощности и имеет амплитуду Q = UI sinj . Эту величину называют реактивной мощностью . Она равна среднему за четверть периода значению энергии, которой источник обменивается с магнитным и электрическим полями нагрузки. Реактивная мощность не преобразуется в тепло или другие виды энергии , т.к. ее среднее значение за период равно нулю.

Реактивную мощность также можно представить через

реактивные составляющие тока или напряжения

Величина

S называется полной или кажущейся мощностью . Из выражения (12) следует, что полную мощность можно представить гипотенузой прямоугольного треугольника с углом j , катетами которого являются активная и реактивная мощности.

Таким образом, полная мощность это максимально возможная активная мощность, т.е. мощность, выделяющаяся в чисто резистивной нагрузке

(cosj = 0). Именно эта мощность указывается в паспортных данных электрических машин и аппаратов.

Реактивные составляющие токов и напряжений можно представить через активные и реактивные составляющие комплексного сопротивления, тогда для составляющих мощности

P = UI а = U и треугольник мощностей получается изменением масштаба треугольника напряжений (рис. 3 а)). Во втором случае (рис. 3 б)), построение выполнено с помощью активной и реактивной составляющих тока I . Очевидно, что все виды мощности имеют одинаковую размерность, поэтому для их отличия от активной мощности, измеряемой в ваттах [Вт], для полной мощности введена единица, называемая вольт-амперы [ВА], а для реактивной мощности - вольт-амперы реактивные [ВАр] Выражение для активной мощности P = UI cosj позволяет определить коэффициент мощности с помощью ваттметра, вольтметра и амперметра. Для этого на вход цепи включают приборы по схеме рис. 4 и по их показаниям определяют коэффициент мощности в виде , W, V и A - показания соответственно ваттметра, вольтметра и амперметра действующих значений . Из этого выражения можно также определить угол сдвига фаз j между током и напряжением на входе двухполюсника.

Мощность в цепях переменного тока

Рассмотрим энергетические характеристики двухполюсных пассивных элементов (R, L, C) на переменном токе.

Резистивный элемент R

Как было показано ранее, для резистивного элемента:

, причем комплексные сопротивление и проводимость имеют только вещественные составляющие: Y = G; Z = R.

Или, что то же самое,

Мгновенная мощность, т.е. мощность в функции времени, представляет собой произведение тока на напряжение и задается выражением:

(использована формула понижения степени sin 2 α = (1 – cos 2α) / 2)

Таким образом, мощность на резистивном элементе пульсирует от нулевого до максимального значения с двойной частотой, принимая только положительные значения (см. рис. 1).

Среднее значение мощности за период называют активной мощностью. С учетом полученного значения для мгновенной мощности, имеем:

, здесь I – действующее значение тока.

Индуктивный элемент L

Пусть, как и прежде, ток и напряжение будут синусоидальными:

Как было показано ранее, в индуктивном элементе ток отстает по фазе от напряжения на 90°.

Комплексное сопротивление индуктивности равно:

, т.е. сопротивление чисто реактивное.

Энергия, запасаемая в индуктивности, равна:

LI 2 .

Мощность индуктивного элемента:

Мощность в индуктивном элементе имеет характер колебаний с удвоенной частотой. При положительных полуволнах мощности, когда знаки тока и напряжения совпадают, энергия из источника поступает в индуктивный элемент и запасается (хранится) в нем. При отрицательных полуволнах мощности, когда знаки тока и напряжения различны, энергия отдается обратно источнику. Среднее за период значение мощности P =0 (энергия в емкостном элементе не рассеивается, т.е. не потребляется), см. рис. 2.

Максимальное значение колебательной мощности в реактивных элементах с углом сдвига 90° называют реактивной мощностью и обозначают P Q .

Для индуктивного элемента

Реактивная мощность представляет собой максимальную скорость обмена энергии между источником и реактивным элементом и определяет ток, связанный с этим обменом. Протекание тока приводит к дополнительным потерям в сопротивлении устройств передачи энергии и поэтому должна быть по возможности минимизирована. Реактивная мощность, в отличие от активной мощности, не связана с выделением (рассеиванием) мощности в элементе, измеряется в вольт-амперах реактивных (вар). В рассматриваемом случае говорят об отстающей или индуктивной реактивной мощности.

Емкостной элемент C

Пусть, как и прежде, ток и напряжение будут синусоидальными:

Как было показано ранее, в емкостном элементе ток опережает по фазе напряжение на 90°.

Комплексное сопротивление емкости равно:

, т.е. сопротивление чисто реактивное (емкостное).

Энергия, запасаемая в емкости, равна:

Мгновенные значения энергии пульсируют с двойной частотой между нулем и максимумом CU 2 .

Мощность емкостного элемента:

Мощность в емкостном элементе имеет характер колебаний с удвоенной частотой. При положительных полуволнах мощности, когда знаки тока и напряжения совпадают, энергия из источника поступает в емкостной элемент и запасается (хранится) в нем. При отрицательных полуволнах мощности, когда знаки тока и напряжения различны, энергия отдается обратно источнику. Среднее за период значение мощности P =0 (энергия в емкостном элементе не рассеивается, т.е. не потребляется), см. рис. 3.

Для емкостного элемента

.

Комплексная мощность (мощность в установившемся синусоидальном режиме)

В общем случае в электрической цепи имеется как активная, так и реактивная составляющая. Это означает, что мощность в цепи будет как рассеиваться (активная мощность), так и периодически накапливаться в реактивных элементах и перераспределяться между ними.

Пусть, как и прежде, ток и напряжение будут синусоидальными:

Мгновенная мощность равна:

Таким образом, мгновенная мощность в цепи с произвольной реактивностью, равна:

Из этого выражения следует, что мгновенная мощность в цепи переменного тока имеет постоянную составляющую и переменную составляющую, изменяющуюся во времени с удвоенной частотой.

Как уже было сказано, среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью :

Подставив в это выражение формулу (1), получим:

(2)

Активная мощность в цепи переменного тока равна произведению действующих значений тока, напряжения и косинуса угла сдвига фаз между ними. Активная мощность измеряется в ваттах (Вт). Множитель cosφ называют коэффициентом мощности (или просто «косинусом φ »).

Чем больше коэффициент мощности, тем больше активная мощность при заданных значениях тока и напряжения. В идеале, для цепей без реактивности, коэффициент мощности равен 1.

Произведение действующих значений тока, напряжения и синуса угла сдвига фаз между ними называется реактивной мощностью:

(3)

Реактивная мощность характеризует энергию, которая периодически циркулирует между источником и нагрузкой. Она измеряется в вольт-амперах реактивных (вар)

Произведение действующих значений напряжения и тока называют полной мощностью :

(4)

Полная мощность измеряется в вольт-амперах (ВА) и характеризует предельную активную мощность в цепи при коэффициенте мощности, равном 1.

Если

,

,

тогда учитывая известные соотношения для мощностей, имеем:

, активную мощность

, реактивную мощность

,

имеем:

В электрических цепях при периодическом синусоидальном воздействии имеет место баланс мощностей источников и нагрузок, т.е. комплексная мощность источников энергии должна быть равна комплексной мощности нагрузок и активные и реактивные мощности источников равны активной и реактивной мощностям нагрузок.

,

, ,

,

.

Знак реактивной мощности означает преимущество индуктивного (+) или емкостного (–) сопротивлений.

Активная мощность в цепи переменного тока равна произведению действующих значений тока и напряжения на косинус угла сдвига фаз между ними. Активная мощность характеризует энергию, которая передается от источника к нагрузке, где превращается в другие виды энергии. Активная мощность измеряется ваттах (Вт). Множитель cosφ называют коэффициентом мощности (или просто «косинус фи»). Чем больше cosφ, тем больше активная мощность при заданных значениях тока и напряжения.

Реактивная мощность в цепи переменного тока равна произведению действующих значений тока и напряжения на синус угла сдвига фаз между ними. Реактивная мощность характеризует энергию, которая циркулирует между источником и нагрузкой. Активная мощность измеряется вольт-амперах реактивных (вар). При φ<0 (при емкостной нагрузке) реактивная мощность отрицательна, а при φ>0 (при индуктивной нагрузке) реактивная мощность положительна.

Некоторые методы численного анализа (расчета) цепей переменного тока

Метод пропорционального пересчета

Метод пропорционального пересчета применяется для расчета несложных цепей, а также лестничных цепей. Метод применим к цепям, в котором имеется один источник (источник тока или напряжения). В этом методе задается условно значение тока или напряжения в наиболее удаленной от источника цепи, а затем рассчитываются все остальные токи и напряжения, пока не будет рассчитано напряжение источника (или ток источника).

Затем определяется коэффициент пропорциональности между заданным значением напряжения источника (тока) и рассчитанным. Далее, имея в в иду линейность цепи все промежуточные данные расчетов, т.е. токи а напряжения умножают на полученный коэффициент пропорциональности.

Поясним методику расчетов на примере.

(пример разветвленной RC цепи)

Графо-аналитический метод пересчета

В этом методе используется точно такой же подход, но вместо метода комплексных амплитуд используется графоаналитический метод. Задавая, как и в предыдущем примере, некоторое численное значение тока, выбирают масштабы токов и напряжений. В заданных масштабах откладывают выбранное значение тока, а затем строят «вокруг» выбранного тока все остальные векторы. В конечно итоге находят вектор напряжения или тока источника. Определяют коэффициент пропорциональности по амплитуде и пропорционально увеличивают или уменьшают выбранный масштаб. Определяют разницу фаз между полученным значением напряжения или тока источник и истиной фазой заданного напряжения или тока источника, а затем «поворачивают» всю картинку с векторами. В результате получаются истинные токи и напряжения, которые вызываются заданным напряжением или током источника.