Автор : – Логика наших рассуждений будет та же, что и при изучении средней и мгновенной скорости. Рассмотрим работу как функцию времени. Пусть А (t) – работа, совершенная за время t. А (t+Δt) – работа, совершенная за время (t+Δt). Тогда [А (t+Δt) – А (t)]/Δt – средняя мощность за промежуток времени от t до (t+Δt). Предел последовательностей значений таких средних мощностей при Δt→0 есть мгновенная мощность, т. е. мощность в момент времени t есть производная от работы по времени.

N (t)= =А’(t) (2.10.1)

Выведите частный случай, когда мощность не зависит от времени.

Студент : – N =A /t.

Студент : – Это бывает, когда постоянна сила, действующая на тело.

N (t)= /Δt=F /Δt=FV .

Или, используя правила вычисления производных:

N(t)=А"(t)=(FS)"=FS"=FV. (2.10.2)

Видим, что мощность зависит не только от силы, но и от скорости, которая при равноускоренном движении является функцией времени.

Заметим, что выражение для мгновенной мощности N(t)=F(t)·V(t) является справедливым для любого механического движения. Доказательство опирается на знания интегрального исчисления, и мы его пропускаем.

Для тренировки разберем одну интересную и практическую задачу 2.5.

Автомобиль массой m трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу k. Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомобиля от времени. Мощность двигателя N.

Студент : – Я не понимаю, зачем в условии сказано про ведущие оси. Мы никогда с этим не сталкивались.

Автор : – Это связано с расчетом силы трения. Можно с хорошей точностью принять, что масса автомобиля равномерно распределена на обе оси. Раз обе оси ведущие, значит, сила трения скольжения равна произведению всей массы автомобиля на коэффициент трения. В случае если ведущей является только одна ось, то на нее приходилась половина массы автомобиля и сила трения, толкающая автомобиль вперед вычислялась бы так: kmg /2. Отметим, что здесь принята максимально возможная сила трения скольжения, т. е. считаем, что колеса автомобиля пробуксовывают на дороге. Правда, на собственных автомобилях водители так не стартуют.

Студент : – Тогда по условию нашей задачи получается, что ускоряет автомобиль только сила трения, которая равна kmg . Отсюда легко получатся ответ: автомобиль двигается равноускоренно и скорость зависит от времени так: V(t)=a t=kgt .

Автор : – Это справедливо только отчасти. Вспомните выражения для мощности (2.10.2). При ограниченной мощности скорость не может неограниченно возрастать. Поэтому должен Вам дать две подсказки: 1) найдите предельное время, до которого Ваш ответ будет справедлив; 2) затем воспользуйтесь энергетическими соображениями.

Студент : – Раз предельная мощность N , то из (2.10.2) получим:

N=FV(t)=kmg kgt.

Отсюда предельное время t 0 =N/(mk 2 g 2).

Студент : – В дальнейшем за какой-то промежуток времени Δt=t–t 0 двигатель совершит работу А=NΔt, которая пойдет на увеличение кинетической энергии. Сначала найдем кинетическую энергию автомобиля в момент времени t 0:

mV 0 2 /2=m 2 /2= .

Изменение кинетической энергии равно

mV 2 /2–mV 0 2 /2 = А=NΔt= N(t – t 0),

◄V(t)=kgt при t≤ t 0 =N/(mk 2 g 2),

V(t)= при t> t 0 .

История .

Эразм Дарвин считал, что время от времени следует производить самые дикие эксперименты. Из них почти никогда ничего не выходит, но если они удаются, то результат бывает потрясающим. Дарвин играл на трубе перед своими тюльпанами. Никаких результатов.

Для многих технических задач важны не только выполняемая работа, но и скорость выполнения работы. Скорость осуществления работы характеризуют физической величиной, которую называют мощностью.

Мощность - это физическая величина, численно равная отношению работы к промежутку времени, за который она выполнена.

Мгновенная мощность

Подобно введение мгновенной скорости в кинематике, в динамике используют понятие «мгновенной мощности».

При перемещении Ах проекция силы F выполняет работу А = FxAx.
Мгновенная мощность - это скалярная физическая величина, равная отношению работы, выполненной за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка.
Необходима сила тяги обратно пропорциональна скорости автомобиля. С увеличением скорости водитель может переходить на повышенные передачи. При этом вращение колес происходить с большей скоростью, но с меньшим усилием.

Обычно быстроходные автомобили и поезда требуют двигателей большой мощности. Однако на самом деле во многих случаях сила сопротивления не постоянная, а возрастает с увеличением скорости. Если, например, нужно увеличить скорость самолета вдвое, то мощность его двигателей нужно увеличить в восемь раз. Вот почему так трудно дается каждый новый успех в увеличении скорости самолетов, кораблей и других транспортных средств.

Вопрос к ученикам во время изложения нового материала

1. Как можно охарактеризовать скорость выполнения работы?

2. Как по известной мощностью вычислить работу?

3. От чего зависит скорость равномерного движения транспортного средства, приводимого в движение его двигателем?

4. Автомобиль движется горизонтальным участком дороги. Когда его двигатель развивает большую мощность: при медленной или быстрой езды?

Закрепление изученного материала

1. Тренируемся решать задачи

1. Какую мощность развивает ученик, когда истекает с первого на четвертый этаж за полминуты? Высота каждого этажа школы - 4 м, масса ученика - 60 кг.

2. Автомобиль едет со скоростью 20 м / с. При этом мотор развивает мощность 20 кВт. Чему равна сила сопротивления движению? Груз которой массы можно поднять, прилагая такую силу?

3. На сколько процентов следует увеличить мощность двигателя пассажирского самолета, чтобы скорость полета возросла на 20%? Считайте, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости полета.

При равномерного движения сила F тяги двигателя равна силе

сопротивления воздуха. Из соотношения P = Fv следует, что мощность

Р пропорциональна третьей степени скорости. Следовательно, для увеличения скорости в 1,2 раза мощность двигателя нужно увеличить в

(1,2) 3 раз. (Ответ: на 73%).

4. Автомобиль массой 2 т разгоняется с места вверх с уклоном 0,02. Коэффициент сопротивления движению - 0,05. Автомобиль набрал скорость 97,2 км / ч на отрезке 100 м. Какую среднюю мощность развивает автомобиль?

2. Контрольные вопросы

1. Или одинаковую мощность развивает двигатель автобуса, когда он движется с одинаковой скоростью без пассажиров и с пассажирами?

2. Почему при увеличении скорости автомобиля требуется меньшая сила тяги для ее поддержания?

3. На что тратится мощность двигателей палубного истребителя, зависший над авианосцем?

4. Почему трудно увеличивать максимальную скорость автомобилей и самолетов?

5. Ученик прошел спортзалом 2 м, а затем то же время слез по канату на 2 м. ли одинаковую мощность он при этом развивал?

Темы кодификатора ЕГЭ : переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания.

Переменный ток несёт энергию. Поэтому крайне важным является вопрос о мощности в цепи переменного тока.

Пусть и - мгновенные значение напряжения и силы тока на данном участке цепи. Возьмём малый интервал времени - настолько малый, что напряжение и ток не успеют за это время сколько-нибудь измениться; иными словами, величины и можно считать постоянными в течение интервала .

Пусть за время через наш участок прошёл заряд (в соответствии с правилом выбора знака для силы тока заряд считается положительным, если он переносится в положительном направлении, и отрицательным в противном случае). Электрическое поле движущихся зарядов совершило при этом работу

Мощность тока - это отношение работы электрического поля ко времени, за которое эта работа совершена:

(1)

Точно такую же формулу мы получили в своё время для постоянного тока. Но в данном случае мощность зависит от времени, совершая колебания вместе током и напряжением; поэтому величина (1) называется ещё мгновенной мощностью .

Из-за наличия сдвига фаз сила тока и напряжение на участке не обязаны совпадать по знаку (например, может случиться так, что напряжение положительно, а сила тока отрицательна, или наоборот). Соответственно, мощность может быть как положительной, так и отрицательной. Рассмотрим чуть подробнее оба этих случая.

1. Мощность положительна : > . Напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки. Это означает, что направление тока совпадает с направлением электрического поля зарядов, образующих ток. В таком случае энергия участка возрастает: она поступает на данный участок из внешней цепи (например, конденсатор заряжается).

2. Мощность отрицательна : . Напряжение и сила тока имеют разные знаки. Стало быть, ток течёт против поля движущихся зарядов, образующих этот самый ток.

Как такое может случиться? Очень просто: электрическое поле, возникающее на участке, как бы «перевешивает» поле движущихся зарядов и «продавливает» ток против этого поля. В таком случае энергия участка убывает: участок отдаёт энергию во внешнюю цепь (например, конденсатор разряжается).

Если вы не вполне поняли, о чём только что шла речь, не переживайте - дальше будут конкретные примеры, на которых вы всё и увидите.

Пусть переменный ток протекает через резистор сопротивлением . Напряжение на резисторе, как нам известно, колеблется в фазе с током:

Поэтому

(2)

График зависимости мощности (2) от времени представлен на рис. 1 . Мы видим, что мощность всё время неотрицательна - резистор забирает энергию из цепи, но не возвращает её обратно в цепь.

Рис. 1. Мощность переменного тока через резистор

Максимальное значение нашей мощности связано с амплитудами тока и напряжения привычными формулами:

На практике, однако, интерес представляет не максимальная, а средняя мощность тока. Это и понятно. Возьмите, например, обычную лампочку, которая горит у вас дома. По ней течёт ток частотой Гц, т. е. за секунду совершается колебаний силы тока и напряжения. Ясно, что за достаточно продолжительное время на лампочке выделяется некоторая средняя мощность, значение которой находится где-то между и . Где же именно?

Посмотрите ещё раз внимательно на рис. 1 . Не возникает ли у вас интуитивное ощущение, что средняя мощность соответствует «середине» нашей синусоиды и принимает поэтому значение ?

Это ощущение совершенно верное! Так оно и есть. Разумеется, можно дать математически строгое определение среднего значения функции (в виде некоторого интеграла) и подтвердить нашу догадку прямым вычислением, но нам это не нужно. Достаточно интуитивного понимания простого и важного факта:

среднее значение квадрата синуса (или косинуса) за период равно .

Этот факт иллюстрируется рисунком 2 .

Рис. 2. Среднее значение квадрата синуса равно

Итак, для среднего значения мощности тока на резисторе имеем:

(3)

В связи с этими формулами вводятся так называемые действующие (или эффективные ) значения напряжения и силы тока (на самом деле это есть не что иное, как средние квадратические значения напряжения и тока. Такое у нас уже встречалось: средняя квадратическая скорость молекул идеального газа (листок «Уравнение состояния идеального газа»):

(4)

Формулы (3) , записанные через действующие значения, полностью аналогичны соответствующим формулам для постоянного тока:

Поэтому если вы возьмёте лампочку, подключите её сначала к источнику постоянного напряжения , а затем к источнику переменного напряжения с таким же действующим значением , то в обоих случаях лампочка будет гореть одинаково ярко.

Действующие значения (4) чрезвычайно важны для практики. Оказывается, вольтметры и амперметры переменного тока показывают именно действующие значения (так уж они устроены). Знайте также, что пресловутые вольт из розетки - это действующее значение напряжения бытовой электросети.

Мощность тока через конденсатор

Пусть на конденсатор подано переменное напряжение . Как мы знаем, ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на :

Для мгновенной мощности получаем:

График зависимости мгновенной мощности от времени представлен на рис. 3 .

Рис. 3. Мощность переменного тока через конденсатор

Чему равно среднее значение мощности? Оно соответствует «середине» синусоиды и в данном случае равно нулю! Мы видим это сейчас как математический факт. Но интересно было бы с физической точки зрения понять, почему мощность тока через конденсатор оказывается нулевой.

Для этого давайте нарисуем графики напряжения и силы тока в конденсаторе на протяжении одного периода колебаний (рис. 4 ).

Рассмотрим последовательно все четыре четверти периода.

1. Первая четверть , . Напряжение положительно и возрастает. Ток положителен (течёт в положительном направлении), конденсатор заряжается. По мере увеличения заряда на конденсаторе сила тока убывает.

Мгновенная мощность положительна: конденсатор накапливает энергию, поступающую из внешней цепи. Эта энергия возникает за счёт работы внешнего электрического поля, продвигающего заряды на конденсатор.

2. Вторая четверть , . Напряжение продолжает оставаться положительным, но идёт на убыль. Ток меняет направление и становится отрицательным: конденсатор разряжается против направления внешнего электрического поля.В конце второй четверти конденсатор полностью разряжен.

Мгновенная мощность отрицательна: конденсатор отдаёт энергию. Эта энергия возвращается в цепь: она идёт на совершение работы против электрического поля внешней цепи (конденсатор как бы «продавливает» заряды в направлении, противоположном тому, в котором внешнее поле «хочет» их двигать).

3. Третья четверть , . Внешнее электрическое поле меняет направление: напряжение отрицательно и возрастает по модулю. Сила тока отрицательна: идёт зарядка конденсатора в отрицательном направлении.

Ситуация полностью аналогична первой четверти, только знаки напряжения и тока - противоположные. Мощность положительна: конденсатор вновь накапливает энергию.

4. Четвёртая четверть , . Напряжение отрицательно и убывает по модулю. Конденсатор разряжается против внешнего поля: сила тока положительна.

Мощность отрицательна: конденсатор возвращает энергию в цепь. Ситуация аналогична второй четверти - опять-таки с заменой заменой знаков тока и напряжения на противоположные.

Мы видим, что энергия, забранная конденсатором из внешней цепи в ходе первой четверти периода колебаний, полностью возвращается в цепь в ходе второй четверти. Затем этот процесс повторяется вновь и вновь. Вот почему средняя мощность, потребляемая конденсатором, оказывается нулевой.

Мощность тока через катушку

Пусть на катушку подано переменное напряжение . Ток через катушку отстаёт по фазе от напряжения на :

Для мгновенной мощности получаем:

Снова средняя мощность оказывается равной нулю. Причины этого, в общем-то, те же, что и в случае с конденсатором. Рассмотрим графики напряжения и силы тока через катушку за период (рис. 5 ).

Мы видим, что в течение второй и четвёртой четвертей периода энергия поступает в катушку из внешней цепи. В самом деле, напряжение и сила тока имеют одинаковые знаки, сила тока возрастает по модулю; для создания тока внешнее электрическое поле совершает работу против вихревого электрического поля, и эта работа идёт на увеличение энергии магнитного поля катушки.

В первой и третьей четвертях периода напряжение и сила тока имеют разные знаки: катушка возвращает энергию в цепь. Вихревое электрическое поле, поддерживающее убывающий ток, двигает заряды против внешнего электрического поля и совершает тем самым положительную работу. А за счёт чего совершается эта работа? За счёт энергии, накопленной ранее в катушке.

Таким образом, энергия, запасаемая в катушке за одну четверть периода, полностью возвращается в цепь в ходе следующей четверти. Поэтому средняя мощность, потребляемая катушкой, оказывается равной нулю.

Мощность тока на произвольном участке

Теперь рассмотрим самый общий случай. Пусть имеется произвольный участок цепи - он может содержать резисторы, конденсаторы, катушки…На этот участок подано переменное напряжение .

Как мы знаем из предыдущего листка , между напряжением и силой тока на данном участке имеется некоторый сдвиг фаз . Мы записывали это так:

Тогда для мгновенной мощности имеем:

(5)

Теперь нам хотелось бы определить, чему равна средняя мощность. Для этого мы преобразуем выражение (5) , используя формулу:

В результате получим:

(6)

Но среднее значение величины равно нулю! Поэтому средняя мощность оказывается равной: